——以青少年信息学奥林匹克竞赛为例杨建 张弨弦遵义航天高级中学贵州遵义 563000摘要本文旨在基于“矩阵”的方法探索青少年信息学奥林匹克竞赛初赛CSP-J1/S1中的重要考点——二叉树遍历问题。我们将引入“矩阵”的方法辅助分析并以图例形式展示如何巧妙实现二叉树遍历问题的求解。二叉树是一种常见的树形数据结构其在信息学奥赛中具有重要地位。该问题旨在考察参赛者对于二叉树遍历算法的掌握程度以及利用矩阵解决此类问题的创新能力。关键词二叉树遍历图解 信息学奥赛 数据结构一、引言二叉树是信息学奥赛的重要知识点之一而二叉树遍历问题则是初赛的高频考点。遍历问题涉及到如何有效地访问二叉树的每个节点以完成特定的任务或解决相关问题。在解决此类问题时参赛者需要具备良好的算法设计和数据结构知识。二、矩阵与二叉树在矩阵中我们可以将二叉树的节点表示为矩阵的元素。通过这种方式我们可以将二叉树的结构转化为矩阵的形式从而利用矩阵的相关性质来解决二叉树遍历问题。三、基于矩阵的二叉树遍历算法1. 前序遍历先访问根节点然后遍历左子树最后遍历右子树。如图的先序遍历结果是ABDECFG2. 中序遍历先遍历左子树然后访问根节点最后遍历右子树。如图的中序遍历结果是DBEAFCG3. 后序遍历先遍历左子树然后遍历右子树最后访问根节点。如图的后序遍历结果是DEBFGCA已知的结论由先序序列和中序序列可求出后序序列即确定一棵二叉树由后序序列和中序序列可求出先序序列即确定一棵二叉树。在信息学奥赛初赛中关于二叉树的考查均是围绕这个结论展开。四、实例分析我们将以一个具体的实例来说明如何利用矩阵解决二叉树遍历问题。假设我们有以下二叉树结构[CSP2019-J1]已知二叉树的中序序列为DBGEHJACIF后序序列为DGJHEBIFCA先序序列为 。本题具有典型的代表性是二叉树遍历问题的基本模型可以改编为已知中序序列和先序序列求后序序列也可以要求画出该二叉树等。常规办法求解过程如下1.由后序序列及其特性可确定结点A是根结点2.观察中序序列根结点A将左右子树分隔开左子树中序序列为DBGEHJ右子树中序序列为CIF3.通过观察左子树的后序序列DGJHEB可确定结点B是左子树的根结点。4.结合左子树的中序序列和后序序列左子树的根结点B将其左右子树分隔开左子树只有一个结点D右子树为GEHJ。依此类推完成剩余结点的分布可得到如下图的二叉树此方法虽然能够求解二叉树的遍历问题但是步骤繁多且耗时费力也容易出错。下面详细介绍基于“矩阵”求解二叉树遍历的方法和步骤分两种情况讨论1.已知先序序列和中序序列求后序序列。1画出一个n1行n1列的坐标n为序列长度。如二叉树的先序为abcdefg中序为cbedafg。因为该序列的长度为7所以需要画一个8*8的矩阵。cbedafgabcdefg2将中序序列按如图所示的样式依次填入矩阵的第一行行标题中。3将先序序列按如图所示的样式依次填入矩阵的第一列列标题中。4如图所示在矩阵中标记出相同字母对应的位置。cbedafgaabbccddeeffgg最后一步确认左右子树及关系。列标题的第一行中的字母为根结点如本题的结点a就是根结点根结点a左边的结点bcde为a的左子树右边的结点fg为a的右子树。cbedafgaabbccddeeffgg同理结点b为左子树的根结点结点b左边的结点c为结点b的左子树右边的结点de为结点b的右子树依此类推将所有结点并入二叉树中得到的就是一棵唯一的二叉树。2.已知后序序列和中序序列求后序序列。求解方法同已知先序序列和中序序列求后序序列一样唯一一点不同就是在填入列标题时需要倒序填入。运用“矩阵法”解决信息学奥赛中的为题题目表述[CSP2019-J1]已知二叉树的中序序列为DBGEHJACIF后序序列为DGJHEBIFCA求先序序列。DBGEHJACIFAACCFFIIBBEEHHJJGGDD五、结论通过将二叉树转化为矩阵形式我们可以更加高效地解决二叉树遍历问题。这种方法不仅有助于我们理解二叉树的内部结构而且可以简化算法的实现过程。在青少年信息学奥林匹克竞赛中这种基于矩阵的方法可以帮助参赛者快速解决二叉树遍历问题从而取得优异的成绩。参考文献[1] 董永建 著 信息学奥赛一本通C版 科学技术文献出版社[2] 魏霞 郑胜 基于几何学的二叉树遍历教学设计研究 大学教育2095-3437201603-0155-03[3] 凤黎 朱瑞杰 浅析二叉树的遍历 信息与电脑 1003-9767201204-0136-02