前置符号说明∈ 属于代表变量在某个区间里面例x∈[1,2] 意思x在1到2之间包含1和2[ a , b ]闭区间包含两端数字 a ≤ x ≤ b( a , b )开区间不包含两端数字 a x b∀任意所有∃存在⇒推出可以得到结论max{ }在大括号里面挑选最大值f⁻¹(x)反函数标记不是1/f(x)高数第一章 函数纯文本版蓝本你的手写笔记一、核心概念背诵用1. 函数的有界性前提有界性必须指定区间讨论区间一变有界性结论会改变。(依赖性)定义设 yf(x)如果存在常数K₁、K₂对区间内任意x满足K₁ ≤ f(x) ≤ K₂就称函数在这个区间上有界。上界大于或等于函数所有取值上确界最小的那个上界min下界小于或等于函数所有取值下确界最大的那个下界(max)等价写法取 M max{|K₁|,|K₂|}写成 -M ≤ f(x) ≤ M取绝对值最大那个✅正例ysinx对全体实数x-1 ≤ sinx ≤ 1在全体实数上有界❌反例ylnxx0的时候函数无界但限定x∈[1,2]在这个区间上有界。⚠️易错坑函数有界不代表一定能取到上界、下界。例子yxx在开区间(0,1)函数有界但是没有最大值、最小值。2. 奇偶性判定两个必要条件定义域必须关于原点对称先决条件不满足直接非奇非偶代入检验偶函数f(-x)f(x)图像关于y轴对称奇函数f(-x)-f(x)图像关于原点对称✅正例f(x)x² 是偶函数f(x)x³ 是奇函数❌反例f(x)x1定义域是全体实数对称但是f(-x)不等于f(x)也不等于-f(x)属于非奇非偶。⚠️易错坑不要跳过定义域直接代入式子判断奇偶。3. 周期性定义存在正数常数T对定义域里任意x满足xT也在定义域内并且f(xT)f(x)T叫做函数的一个周期最小的正数T叫最小正周期三角函数 yA sin(ωxφ)最小正周期 T2π/|ω|✅正例sinx周期是2π❌反例yx找不到任何正数T满足f(xT)f(x)不是周期函数。⚠️易错坑周期函数定义域不能是有限区间加绝对值会改变周期。4. 反函数yf(x) 和 xf⁻¹(y) 互为反函数。习惯写法写成 yf⁻¹(x)先化成x…的形式然后把x和y相互转化核心规则原函数的值域 反函数定义域原函数定义域 反函数值域✅正例y2x1 的反函数 y(x-1)/2注意定义域的变化⚠️易错坑不是所有函数都有反函数单调函数才有反函数。f⁻¹(x) 只是反函数记号不是1/f(x)5. 复合函数yf[g(x)]把内层g(x)整体当成一个变量代入外层函数f(方框)。复合之后新定义域要同时满足内层式子有意义并且内层函数的值落在外层函数定义域里面。✅正例f(u)lnuug(x)x−1复合得到 yln(x−1)❌反例f(u)lnuu−x²u永远≤0不在lnu的定义域无法复合。⚠️易错坑复合函数自变量永远是x不是中间变量u。二、题型刷题用步骤例题坑点题型1求函数定义域⭐高频基础基础规则分式分母不能等于0二次根号√uu ≥ 0对数lnuu 0arcsinu、arccosuu 在[-1,1]之间拓展子题型已知f(x)定义域求f(x²)、f(x²−1)定义域解题思路已知 f(x) 的定义域x∈D求f(方框)要求方框整体∈D解x的范围。例题f(x)定义域x∈[0,2]求f(x²)定义域解0 ≤ x² ≤ 2推出 -√2 ≤ x ≤ √2⚠️易错坑是方框整体放进D不是x直接代入D。整体思想题型2求反函数步骤原式 yf(x)变形用y表达xx,y互换写出反函数标注反函数定义域就是原函数的值域例题求 y3x−1 的反函数解y13x ⇒ x(y1)/3互换x,yy(x1)/3定义域全体实数它难在把对数指数那些混在一起主要是化简问题题型3复合函数⭐⭐⭐难点三类考点核心方框替换整体代入注意分段函数坑在分段函数的定义域考点①复合函数拆分选择题目标拆成基本初等函数幂、指、对、三角、反三角由外向内拆。例题ye^( sin(1/x) )四层拆分ye^uusinvv1/x这4个都是y ,u,v这些都算复合函数考点②已知f(x)求f[g(x)]【代入计算】步骤外层f(方框)把所有x替换成内层g(x)化简表达式求复合后的定义域例题已知f(x)x²2求f(2x−1)解f(方框)方框²2f(2x−1)(2x−1)²24x²−4x3考点③已知复合f[g(x)]反求f(x)期末大题方法换元法令 ug(x)用u反过来求到x的表达式用u改写原式得到f(u)字母u换成x例题已知f(2x1)4x²4x3求f(x)解令 u2x1推出 x(u−1)/2f(u)4*[(u-1)/2]^2 4*[(u-1)/2] 3化简f(u)(u-1)² 2(u-1)3 u²2f(x)x²2知分段函数f(t) { t , t≥0{ -t , t0求复合函数 f(x−1)说明f(t) 就是绝对值函数 f(t)|t|这里是关键解题核心分段函数复合必须分类讨论判断内层整体落在外层哪一段不是直接看x。解外层函数按 t 的范围分段这里 t x−11、当 x−1 ≥ 0也就是 x ≥ 1f(x−1) x−12、当 x−1 0也就是 x 1f(x−1) -(x−1) -x1最终f(x−1) { x−1 , x≥1{ -x1 , x1⚠️易错坑错误做法直接拿x判断正负正确做法判断内层整体x−1落在外层函数的区间分段计算。⚠️易错坑分段函数复合必须分段讨论是考试高频难题。题型4判断函数奇偶性步骤第一步检查定义域是否关于原点对称不对称直接非奇非偶写出f(-x)和f(x)对比f(-x)f(x) →偶函数f(-x)-f(x) →奇函数辅助手段画图观察图像对称性。题型5周期函数、带绝对值函数三角函数先用三角恒等式化简再求周期半角公式sinx 2·sin(x/2)·cos(x/2)cosx 2cos²(x/2)−1 1−2sin²(x/2) cos²(x/2)−sin²(x/2)带绝对值函数优先画图分段去掉绝对值再分析性质题型6判断函数有界性核心看区间闭区间上连续函数一定有界开区间、无穷区间容易无界例题y1/x区间(0,1)无界区间[0.1,1]有界。 本章高频易错汇总考前快速翻看奇偶性判断定义域对称是前提不能直接算f(-x)有界性不能脱离区间单独讨论函数复合函数求定义域自变量是x不是中间变量u单调是存在反函数的必要条件周期函数加绝对值周期可能减半例 |sinx| 周期是π✨复习标记⭐基础定义域、有界性⭐⭐常考奇偶性、周期性、反函数⭐⭐⭐难点复合函数反求f(x)、分段复合