简介这份运筹学期末练习试卷面向高校运筹学课程学习者与备考学生用于系统检验建模与求解能力。试卷涵盖线性规划建模、整数规划建模、名词解释、网络分析与计算题等模块具体涉及A、B产品生产计划建模、汽车厂三种车型的整数规划、织布机生产安排、定性与定量分析辨析、Pert图与CPM关键路径计算、决策树方法及表上作业法求解运输问题并附有对偶问题与互补松弛性的综合题解答。资源包共1个doc文件约1.09MB内容完整、题型典型适合作为期末复习与自测材料。已有571人学习下载读者可借助其中的建模思路与解题过程梳理知识框架、对照练习查漏补缺深入理解运筹学基本理论与实际应用技巧。1. 运筹学期末卷面拆解建模题占 30 分为什么有人连第一问都写不完运筹学期末练习卷最反直觉的一点是整张卷子 100 分里真正需要你算出数字的只有 30 分剩下 70 分考的是“你会不会把一句人话翻译成数学式子”。建模题 3 小题共 30 分、名词解释 10 分、网络图填空 15 分、计算题 30 分、综合题 15 分分值分布摆在这里复习策略就该跟着变——把大量时间砸在单纯形表迭代上性价比远不如把“设变量、写目标、列约束”这三步练到条件反射。这份练习卷适合已经学过一轮、但一上考场就卡在“第一句话该设什么变量”的备考人也适合想快速摸清期末高频题型分布的突击党。下面按考点模块拆开讲每类题都给答题思路和易错点能直接拿去对着练。2. 建模题高频考点三类生产计划模型与设变量套路2.1 副产品与销毁变量A、B、C 产品那道题怎么设原题是 A、B 两种产品过两道化学反应过程A 前道 2 小时、后道 3 小时B 前道 3 小时、后道 4 小时前道可用 200 小时、后道 240 小时每生产 1 单位 B 同时得到 2 单位副产品 CA 获利 5 元、B 获利 10 元、C 获利 3 元C 卖不掉要销毁、单位销毁费 1 元市场最多售出 10 单位 C只建模不求解。这类题的翻车点几乎全在 C 上。很多人设完 x1、x2 就收手忘了 C 是“被动产出”它的数量由 x2 决定而不是你自由决定。正确做法是设 A、B 产量为 x1、x2再设销毁的 C 为 x3于是 C 的总产出是 2x2实际售出量是 2x2 − x3约束要同时卡住“售出不超过 10”和“销毁非负”# 变量x1 A 产量, x2 B 产量, x3 销毁的 C 数量 # 目标A 利润 B 利润 C 销售利润 - C 销毁成本 # max Z 5*x1 10*x2 3*(2*x2 - x3) - 1*x3 # 化简后 max Z 5*x1 16*x2 - 4*x3 # # 约束 # 2*x1 3*x2 200 # 前道工序时间 # 3*x1 4*x2 240 # 后道工序时间 # 2*x2 - x3 10 # C 的售出量不超过市场上限 # x1, x2, x3 0代码里最关键的一行是目标函数化简3*(2x2 − x3) − x3 6x2 − 4x3把“卖 C 赚 3 元、销毁赔 1 元”合并成“每单位 C 净赚 3、每销毁一单位净亏 4”。参数含义要能口头解释2x2 是 C 的产出系数10 是市场容量1 是销毁单价。答题时把“设变量—写目标—列约束—标非负”四行写清楚即使不求解也是满分结构。面试官或阅卷人最想听的是你有没有意识到 x3 是“补救变量”它只在你产出超过 10 单位时才可能为正。2.2 经济规模与 0-1 变量三种轿车那道整数规划题第二题是微型、中级、高级轿车钢材单耗 1.5/2/2.5 吨人工 30/40/50 小时利润 2/3/4 万元钢材上限 6000 吨、人工 55000 小时每种车要达到经济规模1500/1200/1000 辆才可生产构造整数规划模型使利润最大。这题的陷阱是“达到一定数量才可生产”这句话。它不是一个普通的下界约束而是“要么 0要么至少 1500”的析取关系必须引入 0-1 变量 y1、y2、y3 表示是否生产该车型再用大 M 把两种状态缝起来# 变量x1,x2,x3 三种车产量整数; y1,y2,y3 ∈ {0,1} 表示是否生产 # max Z 2*x1 3*x2 4*x3 # # 1.5*x1 2*x2 2.5*x3 6000 # 钢材 # 30*x1 40*x2 50*x3 55000 # 人工 # # x1 1500*y1, x1 M*y1 # 生产则至少 1500不生产则 0 # x2 1200*y2, x2 M*y2 # x3 1000*y3, x3 M*y3 # x1,x2,x3 0 且为整数; y1,y2,y3 ∈ {0,1}M 的取法有讲究它要足够大以不误砍可行解又不能大到让求解器数值不稳。按钢材约束反推x1 最多 6000/1.5 4000所以 M 取 4000 对 x1 就够人工约束下 x1 最多 55000/30 ≈ 1833取两者较小值更紧。答题时写“M 为充分大的正数”也能得分但能说出“M 取该产品资源上限对应的最大可能产量”就是加分项。这类“固定成本/经济规模”题在期末里反复出现本质都是“0-1 变量 大 M”两件套。2.3 自制或购买织布机排产题的变量设计第三题是 28 台织布机D 型 20 台、R 型 8 台生产 4 种纺织品每月 30 天、每天 24 小时给出需求量、售价、可变成本、购买价和两种机型的每小时产量要求确定自制或购买的生产计划。这题的变量要分两层一层是“用 D 型机生产第 j 种布的小时数”另一层是“购买第 j 种布的数量”。原卷答案里先算了自制和购买的单位利润自制 0.33/0.31/0.61/0.73购买 0.19/0.16/0.5/0.54这个预处理很关键——它把“售价减成本”的算术提前做完模型里只剩线性组合。约束有三组D 型机总工时不超过 20×30×24、R 型机不超过 8×30×24、每种布的自制量加购买量等于需求量。注意 R 型机对纺织品 1、2 标注“不生产”建模时对应变量直接不设或置零别硬套通用公式。这类题考的是“把表格翻译成变量和系数”的耐心算错一个单位利润后面全歪。3. 名词解释与对偶理论10 分怎么稳拿3.1 定性分析与定量分析的答题模板名词解释只有两小题共 10 分但很多人在这里丢冤枉分因为写得太随意。定性分析的标准答法是决策者依据个人经验、判断和所处环境对方案做选择主观性强、难以量化验证定量分析则是依据数据建立数学模型、通过计算和优化得出结论客观性强、可复现。答题时各写一句定义、再补一句“两者常结合使用定性定方向、定量定方案”结构就完整了。别写成小作文阅卷人找的是关键词经验判断、主观性、数据模型、客观性。3.2 对偶问题答案不唯一但要会“造”一个例子对偶问题这题原卷明确写“答案不唯一可以给出一个具体线性规划和其标准型进行阐述”。这意味着你不必背某个固定答案而要展示“原问题—对偶问题”的对应规则原问题 max 对应对偶 min原约束系数矩阵转置成对偶约束系数原目标系数变成对偶右端项约束方向随变量符号翻转。答题时自己构造一个小例子最稳比如原问题两个变量、两个约束写出对偶后逐项对照说明“原问题第 i 个约束的对偶变量就是对偶问题第 i 个变量”。这类题面试官想听的是你懂不懂“影子价格”的直觉对偶变量值就是该资源每增加一单位带来的目标增量。4. 网络图与关键路线15 分填空的固定算法4.1 画网络图与找关键路线作图填空题给了一张活动表A 无紧前、5 天B 无紧前、1 天C 紧前 B、2 天D 紧前 A 和 C、4 天E 紧前 A、6 天F 紧前 D 和 E、3 天。要填网络图、关键路线、完工时间、B 和 E 的可推迟天数。标准做法是正推求最早开始/最早完成、逆推求最迟开始/最迟完成总时差为零的活动连起来就是关键路线。这题关键路线是 A-E-F完工时间 563 14 天。B 的总时差是 4 天B 最早 0 开始、最迟 4 开始E 在关键路线上总时差 0。答题时把每个活动的 ES、EF、LS、LF 列成小表再填比心算稳。易错点是 D 有两个紧前 A 和 C它的最早开始要取 A 完成5和 C 完成123的较大值 5取小了整条路线就错。4.2 总时差与自由时差的区别填空题问“活动 B 可以推迟几天而不延误工期”问的是总时差不是自由时差。总时差 最迟开始 − 最早开始衡量的是不影响总工期的机动时间自由时差 紧后活动最早开始 − 本活动最早完成衡量的是不影响任何紧后活动最早开始的机动时间。B 的紧后是 CC 最早开始是 1B 最早完成是 1自由时差为 0但总时差是 4。题目问“不延误工程工期”就答总时差 4。这个区分每年都有人栽记住一句话问工期答总时差问紧后答自由时差。5. 易错点五类一考就翻车的题与补救答法5.1 建模题漏设“被动变量”错在哪A、B、C 那道题只设 x1、x2不设销毁量 x3导致 C 的售出上限约束写不出来。为什么错没意识到 C 是 B 的副产品、产出量被 x2 锁死销毁是唯一调节手段。怎么答对凡是题目出现“卖不掉要处理”“多余部分报废”这类字眼立刻补一个“处理量/销毁量”变量并在目标函数里扣掉处理成本。5.2 整数规划把“经济规模”写成普通下界错在哪直接写 x1 ≥ 1500结果模型强制每种车都生产利润算出来偏低甚至不可行。为什么错混淆了“若生产则至少 1500”和“至少 1500”两种语义。怎么答对引入 0-1 变量 y写 x ≥ 下限·y 且 x ≤ M·y两行缺一不可前者管下限、后者管“不生产时为 0”。5.3 对偶题硬背答案错在哪背了一个对偶形式题目稍变就套不上。为什么错对偶规则是“转置 方向翻转”死记形式不理解对应关系。怎么答对自己造一个两变量两约束的小例子现场推写清“原 max 的对偶是 min、原约束右端项变对偶目标系数”比背十道题管用。5.4 网络图取错紧前活动的最大值错在哪D 的最早开始取了 C 的完成时间 3 而不是 A 的 5。为什么错多紧前活动时忘了取最大值。怎么答对正推时每个活动的最早开始 所有紧前活动最早完成的 max逆推时最迟完成 所有紧后活动最迟开始的 min养成列表格的习惯。5.5 计算题只建模不写最优解错在哪第四大题明确要求“建立模型并最终给出最优解”有人写完约束就交卷。为什么错审题漏了“并给出最优解”五个字。怎么答对看到“建立模型并求解”就分两段写模型一段、求解过程一段哪怕用图解法也要画出可行域顶点并代入目标函数验证。6. 计算题与综合题从建模到互补松弛性的收尾打法计算题第一题是资源分配A 每公斤用煤 6 吨、电 4 度、劳动力 3 个B 用煤 4 吨、电 5 度、劳动力 10 个利润 7 万和 12 万煤 360、电 200、劳动力 300要求建模并给最优解。这类题的标准流程是设 x1、x2写 max Z 7x1 12x2三行资源约束加非负然后用图解法或单纯形法求顶点。答题时把可行域顶点逐个代入目标函数写清“最优解在哪个顶点取得、最优值多少”比只写答案多拿过程分。决策树那道题考的是贝叶斯修正先验销路好 0.7、差 0.3试销好概率 0.8试销好后大批量销路好概率 0.85、试销差后销路好概率 0.1试验费 5 万。画树时从决策点分“试验/不试验”两支试验支再分“试销好/试销差”每个末端算期望收益再减试验费最后比较“试验的期望值”和“不试验的期望值0.7×1200 − 0.3×150”。易错点是把试销概率和投产概率混用记住试销好只是信息、不直接等于投产销路好。综合题考对偶与互补松弛性给一个线性规划求对偶问题和对偶最优解。原卷思路是把原问题最优解代入利用互补松弛性“原约束松弛则对偶变量为 0、对偶变量正则原约束取等”反推 y。答题时先写对偶问题再把已知最优解代入原约束判断哪些取等对取等的约束对应的对偶变量联立求解松弛的约束对应对偶变量直接置 0。这套“先判松紧、再解方程”的流程是这类题唯一稳的路子。最后说个习惯我以前做建模题总想一步写到位结果变量设漏、约束写重回头改比重新写还慢。后来每次动笔前强制走一遍“变量清单—目标—约束—符号”四行草稿哪怕草稿只有十几个字也能把 x3 这种隐藏变量逼出来。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取